Sanning och bevisbarhet - en komplicerad relation
3 frågor till Rasmus Blanck, som disputerar med en avhandling i logik. I avhandlingen studerar han den komplicerade relationen mellan sanning och bevisbarhet i teorier som kan beskriva de naturliga talen 0, 1, 2, 3 och så vidare.
Vad visar din avhandling?
– Resultaten visar att relationen mellan sanning och bevisbarhet för dessa teorier är än mer komplicerad än vad som tidigare varit känt. En förhoppning kunde vara att formella matematiska bevis skulle kunna fånga innebörden i matematisk sanning så att ett påstående är sant precis om det är bevisbart, och falskt precis om det är motbevisbart. Så är det däremot inte, vilket visades av Kurt Gödel 1930. Om vi väljer en rimlig teori som beskriver de naturliga talen, så går det alltid att hitta ett sant påstående om naturliga tal som teorin inte kan bevisa. Sanning och bevisbarhet sammanfaller alltså inte, i motsats till vad vi kanske skulle kunna hoppas.
I avhandlingen har du kombinerat och förfinat flera klassiska varianter av Gödels resultat för att ytterligare försöka förstå hur stort glappet mellan bevisbarhet och sanning är. Varför är det viktigt?
– Matematiska metoder och principer är ju viktiga verktyg inom väldigt många olika vetenskaper, både inom natur- och samhällsvetenskaper. Eftersom vi fortfarande använder formella bevis som den huvudsakliga metoden för att nå matematisk sanning, trots att det är känt att metoden i vissa fall har sina brister, så tycker jag att det är intressant att försöka ta reda på precis hur illa det är ställt. Jag vill poängtera att detta inte betyder att vi behöver tvivla på de matematiska resultat som faktiskt är bevisade – problemet är liksom det omvända, att de formella bevisen inte räcker till för att bevisa alla sanna matematiska påståenden. Och i de allra flesta tillämpningarna räcker de formella bevisen utmärkt.
Vilken betydelse får dina resultat för den fortsatta forskningen?
– Eftersom det i allra högsta grad rör sig om grundforskning så är det lite svårt att sia om hur resultaten kommer att användas i framtiden. Jag har hört av några kollegor runt om i världen som kunnat använda mina resultat för att lösa några inomvetenskapligt motiverade problem, så vem vet – kanske kommer det att trilla ut något verkligt intressant så småningom. Eller också inte. När logikern Alan Turing på 30-talet beskrev sina abstrakta beräkningsmaskiner var det ingen som kunde ana att detta skulle leda till att vi började bygga datorer, eller vilken enorm påverkan de skulle komma att ha på det mesta i samhället. Jag tycker att det är lite av charmen med vetenskap, att vi inte på förhand kan veta vad resultaten eller tillämpningarna kommer att bli.
Avhandlingen Contributions to the metamathematics of aritmethic: Fixed points, independence and flexibility försvarades vid en disputation den 2 juni 2017.